Теория симметрии кристаллов

IV.4. Взаимодействие зеркальной плоскости симметрии и перпендикулярной к ней трансляции

Рис. 25

Результат взаимодействия зеркальной плоскости симметрии с перпендикулярной к ней трансляцией наглядно иллюстрируется модельным способом (рис. 25). Последовательно проведенные операции симметрии - отражение в плоскости m_y и последующий перенос на

Рис. 26

величину вектора _y - переведут исходную фигуру 1 в положение 2 и затем 3. Поскольку фигуры 1 и 3 оказываются энантиоморфными, то результирующая операция симметрии, их связывающая, будет операцией 2-го рода, задаваемой плоскостью симметрии m' _y, проходящей между этими фигурами параллельно иcходной плоскости m_y и отстоящей от нее на половину заданного трансляционного вектора - .

Другое, аналитическое доказательство [18] рассматривает перемещение произвольной точки с координатами mnp относительно начала координат, взятого на зеркальной плоскости m_y, перпендикулярной вектору = a (рис. 25). Отражение в плоскости m_y приведет к точке с координатами , а дальнейший ее перенос на трансляционный вектор переведет ее в положение с координатами m,a- n,p (где a - абсолютное значение вектора ). Координаты исходной и конечной точек связаны отражением в зеркальной плоскости, расположенной на середине вектора . Из анализа рассмотренного взаимодействия можно сделать следующий вывод: любая трансляция может быть заменена двумя последовательными отражениями в двух зеркальных плоскостях, перпендикулярных к ней. При этом расстояние между этими плоскостями равно половине трансляции; расположение же первой из этих плоскостей произвольно.

Таким образом, трансляция не только размножает (транслирует) элементы симметрии (в данном случае зеркальную плоскость), но и взаимодействует с ними. В результате появляется новый неэквивалентный исходному элемент симметрии на ее середине, что хорошо видно на рисунке Эшера (рис. 26).